"Les erreurs sont les preuves que l'on essaye !"
"Je ne perds pas, soit je gagne, soit j'apprends !"
Définition
Une fonction f de la forme ci-dessous est appelée fonction exponentielle en base a.
La variable x peut prendre toute valeur réelle.
Exemples
Prenons la fonction
Cette fonction peut être évaluée lorsque la variable x prend la valeur 3. Le résultat obtenu serait ainsi égal à 512.
De même, nous pouvons déterminer aisément la valeur à attribuer à la variable x pour que la fonction prenne la valeur 64. Plus précisément, x devrait être égal à 2 pour que cette condition soit remplie.
Il serait, en revanche, plus difficile de trouver la valeur à donner à x pour que cette même fonction soit égale à 2048, par exemple. L'outil présenté ci-dessous nous sera d'une grande utilité pour répondre à cette question.
Définition
Un logarithme en base 10, noté ou , permet de déterminer à quelle puissance le nombre 10 doit être élevé pour obtenir le nombre a comme résultat.
Un logarithme en base b, noté , permet de déterminer à quelle puissance le nombre b doit être élevé pour obtenir le nombre a comme résultat.
Exemples
Prenons l'équation . La solution de cette équation est donnée par .
La solution de l'équation est donnée par .
Dans un registre similaire, la solution de l'équation est donnée par .
Le logarithme en base b est la fonction réciproque de la fonction exponentielle en base b.
Des problèmes utilisant les exponentielles, tels que des questions d'intérêts composés, apparaissent dans les mathématiques babyloniennes. Néanmoins, c'est entre le 12e siècle et 14e siècle, que les exponentielles commenceront à être définies avec l'introduction de puissances fractionnaires ou les règles algébriques sur les puissances entières. Au milieu du 15e siècle, de grands mathématiciens tels que Newton, Huygens ou Leibniz développeront ce domaine et mettront en lien cette fonction avec le logarithme.
Aujourd'hui, les exponentielles et les logarithmes apparaissent dans de multiples domaines comme les mathématiques financières ou encore l'informatique, pour ne citer qu'eux. Il est ainsi essentiel de maîtriser ces notions et c'est pour cette raison que je vous invite ainsi à consulter les documents théoriques et les vidéos associées, présentes dans cette section.